Etudes probabilistes et statistiques des mod`eles ´ ARCH et GARCH

Abstract

Dans ce mÈmoire, on a ÈtudiÈ deux modËles de sÈries chronologiques, le modËle ARCH(p) et le modËle GARCH(p; q). On a montrÈ que les deux modËles peuvent síÈcrire sous forme díÈquation aux di§Èrences stochastique bilatÈrale et multi-dimensionnelle de type Xn = AnXn1 + Bn; n 2 Z o˘ (An)n2Z est une suite de matrices alÈatoires iid et (Bn)n2Z est une suite de vecteurs alÈatoires iid. On a montrÈ que la condition nÈcessaire et su¢ sante pour que les deux modËles admettent des solutions strictement stationnaires et ergodiques est que líexposant de Lyapunov associÈ ‡ la suite (An)n2Z soit strictement infÈrieur ‡ zÈro. Par la suite, on a estimÈ les paramËtres des deux modËles par la mÈthode de quasi-maximum de vraisemblance (QMV) et on a montrÈ la normalitÈ asymptotique de líÈstimateur de QMV. On a montrÈ aussi la convergence presque s˚rement de líestimateur de QMV vers le vecteur des vraies valeurs des paramËtres