´EQUATION DE KLEIN-GORDON ET SES APPLICATIONS

Abstract

Le travail de ce m´emoire consiste `a ´etudier un d´eveloppement d’une ´etude de la r´eduction dimensionnelle et cela pour pouvoir l’utiliser en m´ecanique quantique et de construire une th´eorie de champ quantique renormalisable. La r´eduction sera `a partir d’un espace-temps `a 4 dimensions (D = 1 + 3) `a une variante avec un plus petit nombre de dimensions spatiales (D = 1 + d; d < 3) `a des distances suffisamment petites. Nous allons d´emontrer un th´eor`eme important qui reliera l’´etude de l’´equation de Klein Gordon sur lespace (`a g`eom´etrie variable) `a la r´esolution d’une ´equation de type Schr¨odinger avec un potentiel effective g´en´er´e par une variation g´eom´etrique. Ce r´esultat sera bas´e sur la m´ethode de Fourier (dite s´eparation de variables) dans l’´equation de Klein-Gordon et sur le fait que les espaces bidimensionnels sont conformes `a plat. Nous allons montrer que dans le cas de la dimension despace (d = 2) le facteur de conformit´e de la m´etrique entre le potentiel effectif dans l’´equation de Schr¨odinger due `a la raison des modifications correspondantes des variables. Comme exemple, nous allons consid´erer un espace-temps `a g´eom´etrie spatiale variable incluant une transition vers une r´eduction dimensionnelle. Cet exemple que nous allons ´etudier contient une combinaison entre deux r´egions cylindriques bidimensionnelles de rayons distincts reli´ees par une r´egion de transition