Etudes probabilistes des equations aux r ecurrences Markoviennes homog enes

Abstract

Dans ce m emoire, on a etudi e l' equation aux r eccurances stochastique Xn+1 = An+1Xn+Bn n 2 N o u f(An;Bn); n 2 N g est une suite iid. On a montr e que sous les conditions E log jA1j 2 [􀀀1; 0[ et E log jB1j < 1 la suite (Xn)n2N converge en distribution vers la variable al eatoire X pour n'importe quelle variable al eatoire initiale X0 et la variable limite X v eri e l' egalit e en distribution X d= A1X + B1 o u X et ind ependante de (A1;B1). On a montr e que lorsqu'on xe la variable X0 egale en distribution a la variable limite X, la suite (Xn)n2N est strictement stationnaire et ergodique, c'est l'unique solution strictemet stationnaire de l' equation aux r eccurences stochastique. On a montr e que sous les conditions EjA1j < 1 et EjB1j < 1, pour un certaine > 0, la variable limite X admet des moments d'ordres superieurs nis. En suite, on a utilis e la th eor eme de renouvelement implicite pour montrer que la variable limite X est a variation r eguli ere d'indice de variation > 0 qui v eri e l' egalit e EjAj = 1. Il est tr es int eressant par exemple d' etudier l' equation aux r eccurences stochastique dans le cas o u (An)n2N et (Bn)n2N sont des cha^ nes de Markov a espaces d' etats nis ou in ni-dimentoinnelles. De m^eme, c'est tr es int eressant d' etudier la variation r eguli ere des distributions ni-dimentionnelles de la solution strictement statoinnaire de l' equation aux r eccurences stochastique qu'on a etudi e dans notre m emoire.