Cosmologie avec couplage d´erivatif non minimal

Abstract

Dans ce m´emoire nous avons trait´e la cosmologie avec couplage d´erivatif non minimal, `a savoir, nous avons montionn´e quelques notions g´en´erales sur la cosmologie et ´eventuellement des ´el´ements d’analyse tensorielle. Les champs scalaire joue un rˆole fondamentale en cosmologie. En effet, leur dynamique permet d’´etudier en d´etail l’une des phases les plus importante de l’univers primordial: la phase d’exponsion acc´el´er´ee connue sous le nom d’inflation. Danc ce m´emoire, on a ´etudi´e le champ scalaire coupl´e avec la courbure de l’espacetemps donn´e par l’ction d’Hilert-Einstein S = Z d4x p |g| 1 2k R + , μ , μ + k1 , μ , μ R + k2 Rμ , μ , (3.82) o`u k1 et k2 sont des param`etres de cuplage avec [k1] = [k2] = L2 = cst. Puis on a les ´equations du champ gravitationnel 1 16 G Gμ − 1 2 gμ (r )2 + , μ , +k1 h (r )2Gμ + ,μ , R + (r )2gμ − rμr (r )2 i +k2 h − 1 2 gμ R , , + 2R μ , , − r r ( ,μ , ) + 1 2 ( ,μ , ) + 1 2 r r ( , , gμ ) i = 0 et du du champ scalaire 2 + k1(R,μ ,μ + R ) + k2(Rμ ; ,μ + Rμ ;μ ) = 0. Dans le mod`ele cosmologique plat d´ecrit par la m´etrique la m´etrique de Friedman-Robertson- Walker ds2 = −dt2 + a2(t)[dr2 + r2(d 2 + sin2 d'2)] 41 Conclusion g´en´erale 42 o`u a(t) = exp(2 (t)). Les ´equations du champ gravitationnel et du champ scalaire se r´eduisent aux ´equations suivantes 3 ˙ 2 = 4 ˙ 2(1 − 9k ˙ )2 (3.83) −2¨ − 3 ˙ 2 = 4 ˙ 2 h 1 + k

2¨ + 3 ˙ 2 + 4 ˙ ¨ ˙ −1 i (3.84) ¨ + 3 ˙ ˙ − 3k h ˙ 2 ¨ + 2 ˙ ¨ ˙ + 3 ˙ 3 ˙ i = 0 (3.85) Les solutions de ces ´equations sont: pour k = 0 (absence du couplage d´erivatif) (t) = 1 3 ln(t − t0) (3.86) (t) = 1 2 p 3 ln(t − t0) (3.87) Pour k > 0, les solutions et sont ´egales `a (t) = 1 3 ln(t − t1) (3.88) (t) = 1 2 p 3 ln(t − t1) (3.89) Ces deux solutions ne d´ependent pas du param`etre k et elles coinsident avec les solutions obtenues pour k = 0. Pour k < 0, les solutions sont donn´ees par (t) = e−t/ p k (3.90) (t) = t 3 p k (3.91)